Задача 111264
|
|
 |
Условие
Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство:
f(x2)-(f(x))2 . Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Решение
При x = 0 получим, что f(0)-(f(0))2
(f(0))2-f(0)+
0
(f(0)-
)2
0
f(0)=
. Аналогично, при x = 1 : f(1)-(f(1))2
f(1)=
.
Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах [0; 1] , то внутри этого отрезка есть
хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Отметим, что если
x
[0; 1] f(x) =
, то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ
да, верно.
