Условие
Непрерывная функция
f(
x)
такова, что для всех действительных
x выполняется неравенство:
f(
x2)
-(
f(
x))
2
. Верно ли, что функция
f(
x)
обязательно имеет точки экстремума?
Решение
При
x = 0
получим, что
f(0)
-(
f(0))
2
(
f(0))
2-f(0)
+
0
(
f(0)
-
)
2 0
f(0)
= . Аналогично, при
x = 1
:
f(1)
-(
f(1))
2 f(1)
= .
Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах
[0
; 1]
, то внутри этого отрезка есть
хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Отметим, что если
x
[0
; 1]
f(
x)
=, то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ
да, верно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Окружная олимпиада (Москва) |
|
год |
|
Дата |
2008 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2293576 |
