Задача 111268

Тема:

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через середину гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая катет BC в точке D , а продолжение катета AB за точку A – в точке E . Найдите площадь треугольника ABC , если CD=1 , AE=2 , CAB = arccos .

Решение

Пусть K – середина гипотенузы AC . Обозначим AK=KC=x , BAC = α . Через точку D параллельной AB проведём прямую до пересечения с отрезком AC в точке P . Тогда

CPD = BAC = α, CP = = =, DP = .
Треугольник KPD подобен треугольнику KAE с коэффициентом = = . Поэтому = , или = , откуда x=2 , а AC=2x=4 . Из прямоугольного треугольника ABC находим, что
AB=AC cos α = 4· = , BC=AC sin α = 4· = .
Следовательно,
S_{Δ ABC} = AB· BC = · · =.

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5823