Задача 111272

Тема:

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ) вписана окружность с центром O . Касательная к окружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности, если MNC = 2 NMC , OM = , ON = .

Решение

Обозначим NMC = α . Тогда MNC = 2α . Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается отрезка MN в точке K . Заметим, что MO и NO – биссектрисы углов BMN и ANM соответственно. Поэтому

OMK= BMN = (180^o-α)= 90^o-,

ONK= ANM = (180^o-2α)= 90^o-α.
Из прямоугольных треугольников OKM и OKN находим, что
r=OK = OM sin OMK = OM sin (90^o-)= cos ,

r=OK = ON sin ONK = ON sin (180^o-α)= cos α.
Тогда cos = cos α , или cos =(2 cos2 -1) . Из этого уравнения находим, что cos = . Следовательно,
r= cos = · = 3.

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5827