|
|
 |
Условие
В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) точки D
и E являются серединами рёбер AC и BC соответственно. Через точку
E проведена плоскость β , пересекающая рёбра AB и SB и
удалённая от точек D и B на одинаковое расстояние, равное
. Найдите длины отрезков, на которые плоскость делит ребро
SB , если BC=4 , SC=3 .
Решение
Поскольку плоскость β пересекает ребро AB , точки A и B расположены
по разные стороны от неё. Аналогично для точек B и C . Поэтому точки A и C
(а значит, и все точки ребра AC ) лежат по одну сторону от β , а точка B –
по другую. Таким образом, отрезок BD пересекается с плоскостью β в некоторой
точке M (рис.1).
Пусть B1 и D1 – ортогональные проекции точек соответственно B и
D на плоскость β (рис.2), а плоскость β пересекает ребро AB в точке N .
Тогда точка M принадлежит проекции B1D1 отрезка BD на плоскость β .
Из равенства прямоугольных треугольников BMB1 и DMD1 (по катету и
прилежащему острому углу) следует, что M – середина BD , а т.е. прямая EM пересекает
ребро AB в точке N и EM || AC , то N – середина ребра AB .
Пусть плоскость β пересекает ребро SB в точке K . Тогда KM – медиана и
высота равнобедренного треугольника EKN , а т.к. NB1=EB1 (как проекции равных
наклонных BN и BE на плоскость β , то точка B1 лежит на KM .
Пусть SH – высота пирамиды. Обозначим SBH = α ,
KMB = γ .
Из прямоугольных треугольников SBH и BB1M находим, что
Тогда
Из треугольника BKM по теореме синусов находим, что
Следовательно,
Ответ
,
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8913 |
