Задача 111278

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) точки D и E являются серединами рёбер AC и BC соответственно. Через точку E проведена плоскость β , пересекающая рёбра AB и SB и удалённая от точек D и B на одинаковое расстояние, равное . Найдите длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB , если BC=4 , SC=3 .

Решение

Поскольку плоскость β пересекает ребро AB , точки A и B расположены по разные стороны от неё. Аналогично для точек B и C . Поэтому точки A и C (а значит, и все точки ребра AC ) лежат по одну сторону от β , а точка B – по другую. Таким образом, отрезок BD пересекается с плоскостью β в некоторой точке M (рис.1). Пусть B1 и D1 – ортогональные проекции точек соответственно B и D на плоскость β (рис.2), а плоскость β пересекает ребро AB в точке N . Тогда точка M принадлежит проекции B1D1 отрезка BD на плоскость β . Из равенства прямоугольных треугольников BMB1 и DMD1 (по катету и прилежащему острому углу) следует, что M – середина BD , а т.е. прямая EM пересекает ребро AB в точке N и EM || AC , то N – середина ребра AB . Пусть плоскость β пересекает ребро SB в точке K . Тогда KM – медиана и высота равнобедренного треугольника EKN , а т.к. NB1=EB1 (как проекции равных наклонных BN и BE на плоскость β , то точка B1 лежит на KM . Пусть SH – высота пирамиды. Обозначим SBH = α , KMB = γ . Из прямоугольных треугольников SBH и BB1M находим, что

cos α = = = , sin γ = = = = .
Тогда
sin α = = = , cos γ = = = ,

sin (α+γ) = sin α cos γ + cos α sin γ= · + · =.
Из треугольника BKM по теореме синусов находим, что
BK = = = .
Следовательно,
SK = SB=BK = 3- = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8913