Условие
Сфера вписана в четырёхугольную пирамиду
SABCD , основанием которой
является трапеция
ABCD , а также вписана в правильный тетраэдр, одна из
граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды
SABCD . Найдите
радиус сферы, если объём пирамиды
SABCD равен 64.
Решение
Пусть
AD и
BC – основания трапеции (
AD>BC ), а прямые
AB и
CD пересекаются в точке
E . Предположим, что боковая грань
SBC пирамиды является также гранью правильного тетраэдра. Через прямую,
не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две плоскости,
касающиеся сферы, поэтому плоскости остальных граней правильного
тетраэдра совпадают с плоскостями
SCD ,
SAB и
ABCD . Тогда
SBCD –
правильный тетраэдр, что невозможно, т.к. точка касания сферы с плоскостью
ABCD лежит вне треугольника
BCE . Если же гранью правильного тетраэдра
является боковая грань
SCD , то плоскости его остальных граней совпадают
с плоскостями
SAD ,
SBC и
ABCD , что также невозможно, т.к. прямая
AD пересечения плоскостей
SAD и
ABCD и прямая
BC пересечения
плоскостей
SBC и
ABCD параллельны, а значит, на этих прямых не могут лежать
рёбра тетраэдра.
Таким образом, треугольник
AED – грань правильного тетраэдра, о котором
говорится в условими задачи, а
S – вершина этого тетраэдра. Тогда
ADE –
равносторонний треугольник.
Пусть ребра правильного тетраэдра
SADE равны
a . Рассмотрим сечение
пирамиды
SABCD и тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
S ,
E
и середину
M ребра
AD . Эта плоскость проходит также через середину
N ребра
BC и точки
P и
Q касания сферы с гранями
BSC и
ABCD соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников
SQM и
SQN следует, что
NQ = QM = 
QE . Значит,
N –
середина отрезка
QE и
= 
= 
.
Поэтому
SΔ BCE = 
SΔ ADE,
SABCD = SΔ ADE-SΔ BCE = 
SΔ ADE=
· 
= 
,
VSABCD = SABCD· SQ =
· · a
=
= 64,
откуда находим, что
a=6
.
Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, совпадает с центром тетраэдра, а т.к.
центр тетраэдра делит каждую его высоту (медиану) в отношении 1:3, считая от вершины,
то радиус вписанной сферы равен четверти высоты правильного тетраэдра, следовательно,
если
r – радиус сферы, то
r = 
SQ = a= · 6· =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8917 |
