Задача 111306

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Касающиеся сферы ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены два шара σ1 и σ2 , касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар σ1 касается граней ABCD , ABB1A1 , ADD1A1 , а шар σ2 касается граней A1B1C1D1 , BCC1B1 , CDD1C1 . Известно, что AB=6- , A1D1 = 6+ , CC1=6 . Найдите расстояние между центрами шаров σ1 и σ2 . Найдите наименьший и наибольший суммарный объём шаров.

Решение

Введём прямоугольную систему координат, направив ось Ox по лучу AB , ось Oy – по лучу AD , ось Oz – по лучу AA1 . Пусть O1 – центр шара σ1 радиуса r1 , а O2 – центр шара σ2 радиуса r2 . Будем считать, что r1 r2 . Поскольку щары вписаны в трёхгранные углы с вершинами A и C1 параллелепипеда, их центры имеют координаты O1(r1;r1;r1) и O2(AB-r2;BC-r2;AA1-r2) . Линия центров касающихся сфер проходит через их точку касания P , поэтому O1O2 = O1P+O2P = r1+r2 , или

= r1+r2.
Подставляя в это равенство AB=6- , BC = 6+ , AA1=6 , получим уравнение
= r1+r2.
Обозначим r1+r2=t и перепишем это уравнение в виде
= t (6--t)2 +(6+-t)2+ (6-t)2 = t2

t2-18t+56=0 (1)
Оба шара расположены внутри параллелепипеда, поэтому
r1 r2 < min (AB, BC, AA1) = (6-). (2)
При выполнении условий (1) и (2) можно вписать шары радиусов r1 и r2 в трёхгранные углы при вершинах A и C1 , и все условия задачи будут выполняться. Поскольку t=r1+r2 2r2 6- , условию задачи удовлетворяет только t=4 . Пусть V – сумма объёмов шаров. Тогда
V=π r13 + π r23 = π (r13+r23) = (r1+r2)(4r12-4r1r2+4r22) =

=(r1+r2)((r1+r2)2+3(r2-r1)2) = (t2+3(2r2-t)2) = ,
причём равенство достигается при r1=r2=2 . В то же время,
V = (t2+3(2r2-t)2) (t2+3(AB-t)2) = (42+3(2-)2)=

=(-16)π,
причём равенство достигается при r2 =AB = 3- , r1=t-r2 = 1+ .

Ответ

d=4 , V_max = (-16)π , V_min = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8951