Задача 111314

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если x1 , x2 , x3 , x4 – расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней, а h1 , h2 , h3 , h3 – соответствующие высоты тетраэдра, то

++ + = 1.

Решение

Пусть M – точка внутри тетраэдра ABCD , x1 – расстояние от этой точки до грани ABC , h1 – высота тетраэдра, опущенная из вершины D , V – объём тетраэдра ABCD , V1 – объём тетраэдра ABCM . Тогда h1 – высота тетраэдра ABCM , опущенная из вершины M , поэтому

= = .
Аналогично,
=, =, =,
где V2 , V3 , V4 – объёмы тетраэдров ABDM , ACDM и BCDM . Следовательно,
++ + = +++= = = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8959