ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111314
Темы:    [ Объем помогает решить задачу ]
[ Объем тела равен сумме объемов его частей ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если x1 , x2 , x3 , x4 – расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней, а h1 , h2 , h3 , h3 – соответствующие высоты тетраэдра, то

++ + = 1.


Решение

Пусть M – точка внутри тетраэдра ABCD , x1 – расстояние от этой точки до грани ABC , h1 – высота тетраэдра, опущенная из вершины D , V – объём тетраэдра ABCD , V1 – объём тетраэдра ABCM . Тогда h1 – высота тетраэдра ABCM , опущенная из вершины M , поэтому

= = .

Аналогично,
=, =, =,

где V2 , V3 , V4 – объёмы тетраэдров ABDM , ACDM и BCDM . Следовательно,
++ + = +++= = = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8959

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .