Задача 111315

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На грани ABC тетраэдра ABCD взята точка O и через неё проведены отрезки OA1 , OB1 и OC1 , параллельные рёбрам DA , DB и DC , до пересечения с гранями тетраэдра. Докажите, что

+ + = 1.

Решение

Пусть x и h – высоты тетраэдров OBCD и ABCD , опущенные из вершин O и A соответственно. Тогда = , т.к. наклонные OA1 и AD к плоскости грани BCD параллельны. Тогда

= = = .
Аналогично,
= , = .
Следовательно,
+ += ++ =

= = = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8960