|
|
 |
Условие
Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий. Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?
Решение 1
Назовём человека подозрительным, если про него нельзя определить, спортсмен это или арбитр. Заметим, что каждый из арбитров фотографировался только со спортсменами, то есть не более чем с 20 людьми. С другой стороны, каждый из спортсменов сфотографировался со всеми остальными спортсменами и хотя бы одним арбитром, то есть не менее чем с 20 людьми. Значит, каждый подозрительный человек оказался на фотографиях ровно с 20 людьми.
Заметим, что если спортсмен фотографировался ровно с 20 людьми, то все его 19 игр судил один и тот же арбитр, то есть на всех фотографиях вместе с ним присутствует один и тот же человек.
Пусть X – какой-нибудь подозрительный человек. Так как мы можем принять X за спортсмена, то, ввиду сказанного выше, на всех фотографиях с ним присутствует некий Y. Эти двое сфотографированы вместе 19 раз, значит, один из них – точно арбитр. Следовательно, третий человек на каждой из этих фотографий – точно спортсмен.
Так мы сможем определить 19 спортсменов, а оставшийся спортсмен – X или Y. Все остальные – арбитры. Если бы мы могли определить статус хотя бы одного из пары X и Y, то мы бы смогли определить и оставшегося, и не было бы вообще ни одного подозрительного человека. Значит, всего подозрительных людей двое – X и Y.
Решение 2
По условию можно разными способами разделить сфотографированных людей на спортсменов и арбитров. Заметим, что если два человека при некотором истолковании A – игроки, то они встречаются вместе на одной фотографии – на той, которая сделана после их матча. С другой стороны, если два человека при некотором истолковании B – арбитры, то они не встречаются на одной фотографии. Значит, не более одного игрока в истолковании A может оказаться арбитром в истолковании B. Аналогично верно и обратное. Значит, ситуации A и B могут отличаться только в двух людях – один из них в A игрок, а в B арбитр, другой наоборот. Обозначим первого X, второго Y.
Так как в истолковании A мы считаем Y арбитром, то с ним на фотографиях не встречаются люди, которые в обоих истолкованиях – арбитры. Но в истолковании B он игрок, поэтому с ним на фотографии должен быть арбитр, и это может быть только X. Таким образом, на всех фотографиях Y присутствует X. Точно так же верно и обратное. Итак, X и Y представляют из себя игрока и арбитра, который судит все матчи этого игрока и только их. Третий человек на каждой из этих фотографий – точно спортсмен, и так мы определим всех спортсменов. А все остальные люди – арбитры. То есть неоднозначно определяется только два человека.
Ответ
Двое.
