Задача 111341

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Богданов И.И.

Все целые числа от -33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

Решение

Приведем пример такой расстановки. Рассмотрим последовательность 100, -33 , 99, -32 , .., 34, 33. Тогда, если первое число пары стоит на нечетном месте, то сумма равна 67 . А если на четном месте, то 66 . Обратные величины будут соответственно равны и , причем первых – 67 , а вторых – 66 . Тогда итоговая сумма равна 2 .

Ответ

можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	71
Год	2008
вариант
Класс	9
задача
Номер	3