ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111361
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.
Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?


Решение

Фактически один и тот же пример можно строить и обосновывать по разному.

Первый способ. Рассмотрим произвольный остроугольный треугольник ABC, где  ∠B = 60°.  Пусть AH и CK – высоты, M – середина AC. В прямоугольных треугольниках AHC и AKC медианы HM и KM равны половине гипотенузы, поэтому треугольники CMH и AMK равнобедренные. Угол AMH – внешний угол треугольника CMH и, значит, равен 2∠C. Аналогично  ∠CMK = 2∠A.  Следовательно,
HMK = ∠AMH + ∠CMK – 180° = 2(∠A + ∠C) – 180° = 2·120° – 180° = 60°.

Второй способ. На полуокружности с диаметром AC и центром M отметим точки K и H так, чтобы дуга KH составляла 60° и прямые AK и CH пересекались в точке B вне полукруга. Тогда K и H – основания высот треугольника ABC (лежащие на его сторонах), треугольник KMH равносторонний, а треугольник ABC – нет (если прямая KH не параллельна AC).


Ответ

Неверно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .