|
|
 |
Условие
Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.
Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?
Решение
Фактически один и тот же пример можно строить и обосновывать по разному.
Первый способ. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, где ∠B = 60°. Пусть AH и CK – высоты, M – середина AC. В прямоугольных треугольниках AHC и AKC медианы HM и KM равны половине гипотенузы, поэтому треугольники CMH и AMK равнобедренные. Угол AMH – внешний угол треугольника CMH и, значит, равен 2∠C. Аналогично ∠CMK = 2∠A. Следовательно,
∠HMK = ∠AMH + ∠CMK – 180° = 2(∠A + ∠C) – 180° = 2·120° – 180° = 60°.
Второй способ. На полуокружности с диаметром AC и центром M отметим точки K и H так, чтобы дуга KH составляла 60° и прямые AK и CH пересекались в точке B вне полукруга. Тогда K и H – основания высот треугольника ABC (лежащие на его сторонах), треугольник KMH равносторонний, а треугольник ABC – нет (если прямая KH не параллельна AC).
Ответ
Неверно.
Замечания
4 балла
