Условие
Найдите геометрическое место центров прямоугольников, вписанных
в треугольник
ABC так, что одна сторона прямоугольника лежит
на наибольшей стороне
AB , а концы противоположной стороны –
на сторонах
AC и
BC .
Решение
Пусть сторона
KL прямоугольника
KLMN лежит на наибольшей стороне
AB
треугольника
ABC , а вершины
M и
N – на сторонах
BC и
AC
соответственно,
P – середина
AB .
Поскольку
MN || AB , медиана
CP проходит через середину
E
отрезка
MN . Отрезок
EF , соединяющий середины
E и
F сторон
MN
и
KL прямоугольника
KLMN , и диагональ
LN прямоугольника пересекаются
в центре
X прямоугольника. Поскольку отрезок
EF параллелен высоте
CH
треугольника
ABC , луч
PX , содержащий медиану треугольника
CPH ,
проходит через середину
Q отрезка
CH . Таким образом центр любого
прямоугольника, о котором говорится в условии задачи, лежит на отрезке
PQ .
Обратно, пусть
X – произвольная внутренняя точка отрезка
PQ , где
P – середина стороны
AB , а
Q – середина высоты
CH . Рассмотрим
точку
F пересечения медианы
CP треугольника
ABC и прямой, проходящей
через точку
X параллельно высоте
CH . Пусть эта прямая пересекает
отрезок
AB в точке
F . Медиана
PQ прямоугольного треугольника
CPH проходит через середину отрезка
EF , значит,
X – середина
EF .
Через точку
F проведём прямую, параллельную
AB . Пусть
M и
N – точки
пересечения этой поямой со сторонами
BC и
AC соответственно, а
L и
K – основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на сторону
AB .
Медиана
CP треугольника
ABC проходит через середину отрезка
MN , значит,
E – середина
MN . Тогда
F – середина
KL , а середина
X отрезка
EF ,
соединяющего середины противоположных сторон
MN и
KL прямоугольника
KLMN – центр этого прямоугольника.
Ответ
Отрезок (без концов), один конец которого – середина
AB , а
второй – середина высоты
CH .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6600 |
