|
|
 |
Условие
Найдите геометрическое место центров прямоугольников, вписанных
в треугольник ABC так, что одна сторона прямоугольника лежит
на наибольшей стороне AB , а концы противоположной стороны –
на сторонах AC и BC .
Решение
Пусть сторона KL прямоугольника KLMN лежит на наибольшей стороне AB
треугольника ABC , а вершины M и N – на сторонах BC и AC
соответственно, P – середина AB .
Поскольку MN || AB , медиана CP проходит через середину E
отрезка MN . Отрезок EF , соединяющий середины E и F сторон MN
и KL прямоугольника KLMN , и диагональ LN прямоугольника пересекаются
в центре X прямоугольника. Поскольку отрезок EF параллелен высоте CH
треугольника ABC , луч PX , содержащий медиану треугольника CPH ,
проходит через середину Q отрезка CH . Таким образом центр любого
прямоугольника, о котором говорится в условии задачи, лежит на отрезке
PQ .
Обратно, пусть X – произвольная внутренняя точка отрезка PQ , где
P – середина стороны AB , а Q – середина высоты CH . Рассмотрим
точку F пересечения медианы CP треугольника ABC и прямой, проходящей
через точку X параллельно высоте CH . Пусть эта прямая пересекает
отрезок AB в точке F . Медиана PQ прямоугольного треугольника
CPH проходит через середину отрезка EF , значит, X – середина EF .
Через точку F проведём прямую, параллельную AB . Пусть M и N – точки
пересечения этой поямой со сторонами BC и AC соответственно, а L и
K – основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на сторону AB .
Медиана CP треугольника ABC проходит через середину отрезка MN , значит,
E – середина MN . Тогда F – середина KL , а середина X отрезка EF ,
соединяющего середины противоположных сторон MN и KL прямоугольника
KLMN – центр этого прямоугольника.
Ответ
Отрезок (без концов), один конец которого – середина AB , а второй – середина высоты CH .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6600 |
