Задача 111363

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD двугранный угол при ребре AC равен 90^o , AB=BC=CD , BD = AC . Найдите двугранный угол при ребре AD .

Решение

Поскольку плоскости ABC и ACD – перпендикулярны (двугранный угол между ними равен 90^o ), высота BM треугольника ABC является перпендикуляром к плоскости ACD , значит, треугольник AMD – ортогональная проекция треугольника ABD на плоскость ACD , а т.к. треугольник ABC равнобедренный (AB=BC) , то M – середина AC . Треугольники ACD и DBA равны по трём сторонам, а DM – медиана треугольника ADC , поэтому

S_{Δ AMD} = S_{Δ ACD} = S_{Δ ABD}.
Обозначим через α искомый угол между гранями BAD и CAD . Тогда
cos α = = = .
Следовательно, α = 60^o .

Ответ

60^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7310