Задача 111364

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Три шара, среди которых имеется два одинаковых, касаются плоскости P и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости P , а ось конуса перпендикулярна к этой плоскости. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из них касается некоторой образующей конуса. Найдите косинус угла между образующей конуса и плоскостью P , если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью P величина одного из углов равна 150^o .

Решение

Пусть шары радиусов R и R касаются плоскости P в точках B и C , а шар радиуса r касается этой плоскости в точке A . Тогда

BAC = 150^o, ABC = ACB = 15^o, BC=2R, AB=AC = 2,

= cos ACM = cos 15^o = = cos 15^o = 4 cos2 15^o.
Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через центр шара радиуса r с центром O (рис.1). Обозначим через α искомый угол между образующей конуса и плоскостью P . Пусть H – вершина конуса. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что
AH = OA ctg AHO = r ctg .
Аналогично,
AC = AB = R ctg ,
значит, точка H лежит на серединном перпендикулре к стороне BC равнобедренного треугольника ABC . Пусть M – середина BC . Тогда
AM = MC tg ACM = R tg 15^o, MH = = = R.
Предположим, что точка H лежит на продолжении отрезка AM за точку M (рис.2). Тогда AH = AM+MH , или
r ctg = R tg 15^o+R ctg = tg 15^o+,
а т.к. = 4 cos2 15^o , то
ctg = 4 cos2 15^o tg 15^o+4 cos2 15^o

ctg = 2 sin 30^o+2(1+ cos 30^o) ctg = 1+(2+).
Из последнего уравнения находим, что ctg =- , что невозможно, т.к. 0<<45^o . Предположим, что точка H лежит на отрезке AM . Тогда AH = AM-MH . Аналогично предыдущему, получим уравнение
ctg = 1+(2+),
из которого находим, что ctg =-1 , что также невозможно. Наконец, пусть точка H лежит на продолжении отрезка AM за точку A (рис.3). Тогда AH = MH-AM и
ctg = (2+)-1.
Из этого уравнения находим, что ctg = . Тогда tg = . Следовательно,
cos α = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8961