Условие
Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин
противоположных рёбер одна и та же для любой пары
таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами
четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.
Решение
Пусть
A1
,
B1
и
C1
– точки касания вписанной
окружности со сторонами соответственно
BC ,
AC и
AB
треугольника
ABC . Тогда
AB1
=AC1
,
BA1
=BC1
и
CA1
=CB1
. Следовательно, шары с центрами
A ,
B и
C
и радиусами соответственно
AB1
=a ,
BA1
=b и
CB1
=c попарно
касаются друг друга.
Обозначим
AB+CD=BC+AD=AC+BD=h . Пусть
A2
,
B2
и
C2
–
точки на рёбрах
DA ,
DB и
DC соответственно, причём
AA2
=AB1
= a ,
BB2
= BA1
=b ,
CC2
= CB1
= c .
Тогда
DA2 = BC+AD - AA2= h-(b+c)-a = h-a-b-c,
DB2 = AC+BD - BB2= h-(a+c)-b = h-a-b-c,
DC2 = AB+CD - CC2= h-(a+b)-c = h-a-b-c,
поэтому шар с центром в вершине
D и радиусом
h-a-b-c касается
трёх остальных шаров. Следовательно, все четыре шара попарно касаются
друг друга.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8966 |
