Задача 111369

Тема:    [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.

Решение

Пусть A1 , B1 и C1 – точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC , AC и AB треугольника ABC . Тогда AB1=AC1 , BA1=BC1 и CA1=CB1 . Следовательно, шары с центрами A , B и C и радиусами соответственно AB1=a , BA1=b и CB1=c попарно касаются друг друга. Обозначим AB+CD=BC+AD=AC+BD=h . Пусть A2 , B2 и C2 – точки на рёбрах DA , DB и DC соответственно, причём AA2=AB1 = a , BB2 = BA1=b , CC2= CB1 = c . Тогда

DA2 = BC+AD - AA2= h-(b+c)-a = h-a-b-c,

DB2 = AC+BD - BB2= h-(a+c)-b = h-a-b-c,

DC2 = AB+CD - CC2= h-(a+b)-c = h-a-b-c,
поэтому шар с центром в вершине D и радиусом h-a-b-c касается трёх остальных шаров. Следовательно, все четыре шара попарно касаются друг друга.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8966