Задача 111372

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На ребре AB как на диаметре построена сфера. Найдите радиус шара, вписанного в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной в точке A и касающегося построенной сферы.

Решение

Пусть O – середина ребра AB (диаметра данной сферы), Q – центр шара радиуса r , вписанного в указанный трёхграный угол и касающегося данной сферы, P – точка касания этого шара с плоскостью ABC , H – центр основания ABC правильного тетраэдра ABCD . Заметим, что точка Q лежит на продолжении высоты правильного тетраэдра, проведённой из вершины A . Пусть α – угол, который образует высота правильного тетраэдра с его боковой гранью. Тогда

sin α = = , ctg α = 2.
Из прямоугольного треугольника APQ находим, что
AP = PQ ctg PAQ = r ctg α = 2r.
Тогда
HP = AP-AH = 2r - .
По теореме косинусов
OP2 = HO2+HP2 - 2HO· HP cos 120^o = ()2+(2r - )2 + (2r - ).
Если шар касается данной сферы внешним образом, то OQ = +r , а если внутренним, то OQ = -r . По теореме Пифагора OQ2=OP2+PQ2 , или
( r)2=()2+(2r - )2 + (2r - )+r2,
откуда r =a .

Ответ

a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8969