Задача 111379

Темы:    [ Конус ] [ Правильный тетраэдр ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На ребре BD расположена точка M так, что 3DM=a . Прямой круговой конус расположен так, что его вершина находится на середине ребра AC , а окружность основания проходит через точку M и пересекает рёбра AB и BC . Найдите радиус основания этого конуса.

Решение

Пусть DH – высота тетраэдра ABCD , S – вершина конуса, K и N – точки пересечения окружности основания конуса с рёбрами AB и BC соответственно (рис.1). Тогда SM , SK и SN – образующие конуса. Обозначим DBH = α . Из прямоугольного треугольника BHD находим, что

cos α = = = .
По теореме косинусов
SM = = = .
Окружность с центром S и радиусом > (рис.2) пересекает каждый из отрезков AB и BC ровно в одной точке, значит, AK=CN , KN || AC . Обозначим AK=x . По теореме косинусов
SK2 = AK2+AS2 - 2AK· AS cos 60^o, a2 = x2+ - ax, 18x2-9ax-5a2=0.
Из полученного уравнения находим, что x=a . Тогда BN=BK=a-a = a . По теореме косинусов
KM = = = .
Пусть R – радиус основания конуса. Тогда R – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника KMN со сторонами KM=MN = , KN = a . Обозначим MKN = β . Тогда
cos β = = = , sin β = .
Следовательно, по теореме синусов
R= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8976