Задача 111381

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота равна диагонали основания ABCD . Через вершину A параллельно прямой BD проведена плоскость, касающаяся вписанного в пирамиду шара. Найдите отношение площади сечения к площади основания пирамиды.

Решение

Пусть SH – высота пирамиды, M – середина BC ; P , Q и E – точки пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами SB , SD и SC соответственно; F – точка касания шара с секущей плоскостью, O – центр шара, r – его радиус. Обозначим AB=a , SCH = α – угол бокового ребра с плоскостью основания, SMH = β – угол боковой грани с плоскостью основания. Из прямоугольных треугольников SHC и SMH находим, что

tg α = = = 2, tg β = = = 2.
Тогда
cos α = = = , cos β = = = ,

sin β = , tg = = = .
Из прямоугольного треугольника OMH находим, что
r = OH = HM tg = · = .
Плоскость BSD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой PQ , значит, PQ || BD . Пусть прямые PQ и AE пересекаются в точке N . Тогда точка F лежит на отрезке AN . Обозначим OAH = γ . Из прямоугольного треугольника AOH находим, что
tg γ = = = = .
Тогда
tg NAH = tg 2γ = = = , NH = AH tg 2γ = · = ,

SN = SH - NH = a - = , = = = , PQ = BD = .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ASC . Через точку S проведём прямую, параллельную AC и продолжим AE до пересечения с этой прямой в точке T . Из подобия треугольников SNT и HNA следует, что ST = AH· = AH , а из подобия треугольников SET и CEA – = = = , значит,
CE = SC = · = · = .
По теореме косинусов
AE = = = a.
По теореме о трёх перпендикулярах AE BD , поэтому AE PQ . Следовательно,
S_сеч. = S_APEQ = PQ· AE = · · a = a2, = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8978