|
|
 |
Условие
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на диагонали $AC$ грани $ABCD$ взята точка $M$, а на диагонали $BD_1$ куба взята точка $N$ так, что $\angle NMC = 60^\circ$, $\angle MNB = 45^\circ$. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят отрезки $AC$ и $BD_1$?Решение
Пусть $P$ – проекция точки $N$ на плоскость $ABCD$, $O$ – центр квадрата $ABCD$. Можно считать, что ребро куба равно $1$. Обозначим $\frac{AM}{AC} = x$, $\frac{BN}{BD_1}=y$. Тогда $$ NP = y, BP = y\sqrt{2}, OP = |BP-BO| = \bigg|y\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg|= \sqrt{2}\bigg|y-\frac{1}{2}\bigg|,$$ $$ AM=x\sqrt{2}, MO = |AO-AM| = \bigg|\frac{\sqrt{2}}{2}-x\sqrt{2}\bigg| = \sqrt{2}\bigg|\frac{1}{2}-x\bigg|.$$
Рассмотрим сечение куба плоскостью $AB_1C$ – равносторонний треугольник $AB_1C$ со стороной $AB = \sqrt{2}$. Известно, что диагональ $BD_1$ куба перпендикулярна этой плоскости, проходит через центр $Q$ треугольника $AB_1C$ и делится этой плоскостью в отношении $1:2$, считая от вершины $B$. Поэтому $$ BQ = \frac{1}{3} BD_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}, NQ = |BN-BQ| = \bigg|y\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\bigg| = \sqrt{3} \bigg|y-\frac{1}{3}\bigg|,$$ $$ OQ=\frac{AC \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}.$$
По условию задачи $\angle MNQ = 45^{\circ}$ и $\angle NMO = 60^{\circ}$. Из прямоугольных треугольников $MQN$, $MOQ$, $MON$ и $NPO$ находим, что
$$ NQ= MQ = \sqrt{OQ^2+OM^2} = \sqrt{\frac{1}{6}+2\bigg(\frac{1}{2} - x\bigg)^2},$$
$$ NO = OM \operatorname{tg} 60^{\circ} = OM\sqrt{3} = \sqrt{6} \bigg|\frac{1}{2} -x \bigg|,$$
$$ NO = \sqrt{NP^2+OP^2} = \sqrt{y^2+2\bigg(y-\frac{1}{2}\bigg)^2},$$
а т.к. $NQ=\sqrt{3} \bigg|y-\frac{1}{3}\bigg|$, то получим систему уравнений
Умножив на $3$ обе части первого уравнения и сложив после этого почленно первое и второе уравнения, получим уравнение $6 y^2 - 4 y = 0$, откуда $y = \frac{2}{3}$. Затем, считая, что точка $M$ лежит на отрезке $AO$, находим, что $x=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$. Следовательно, $BN:ND_1 = 2:1$ и $AM:MC = (\sqrt{3} -1):(\sqrt{3} +1)$.
Ответ
$2:1$, $(\sqrt{3} -1):(\sqrt{3}+1)$.Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8991 |
