Задача 111400

Тема:    [ Неопределено ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB , BC , CD , DA соответственно взяты пары точек M и M1 , N и N1 , P и P1 , Q и Q1 так, что AM=AQ=CN=CP=a , BM1=BN1=DP1=DQ1=a . Найдите объём треугольной пирамиды, вершинами которой служат точки пересечения отрезков MP1 и M1P с отрезками NQ1 и N1Q .

Решение

Поскольку = , прямая P1Q1 параллельна AC . Аналогично, MN || AC . Значит, точки P1 , Q1 , M и N лежат в одной плоскости. Тогда прямые MP1 и NQ1 пересекаются в некоторой точке E . Треугольник P1DQ1 подобен треугольнику CDA с коэффициентом = , а треугольник MBN – треугольнику ABC с коэффициентом = . Тогда треугольник P1EQ1 и MEN подобны с коэффициентом

= = ,
поэтому EQ1 = NQ1 . Пусть отрезки PM1 и NQ1 , лежащие в плоскости параллельных прямых PN и M1Q1 , пересекаются в точке F . Из подобия треугольников PFN и M1FQ1 следует, что
=== ,
поэтому NF=NQ1 . Следовательно,
EF = NQ1-EQ1-NF = NQ1-NQ1-NQ1= NQ1.
Пусть отрезки PM1 и QN1 пересекаются в точке G , а отрезки MP1 и QN1 – в точке H . Аналогично находим, что GH= QN1 . Известно, что объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин двух его противолежащих рёбер на расстояние между прямыми, содержащими эти рёбра, и на синус угла между этими прямыми. Пусть V – объём тетраэдра ABCD , V1 – объём тетраэдра NN1QQ1 , V2 – объём тетраэдра EFGH . Заметим, что расстояние и угол между противоположными рёбрами AD и BC тетраэдра ABCD и противоположными рёбрами NN1 и QQ1 тетраэдра NN1QQ1 соответственно равны. Равны также расстояние и угол между противоположными рёбрами NQ1 и BQN1 тетраэдра NN1QQ1 и противоположными рёбрами EF и GH тетраэдра EFGH . Тогда
V1 = · V = · V= V,

V2=· V1 = · V1= V1 = · V = V.
Пусть DK – высота правильного тетраэдра ABCD . Тогда
DK = = =a,
Поэтому
V=S_Δ· DK = · · a= .
Следовательно,
V2= V=· = a3.

Ответ

a3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9027