|
|
 |
Условие
Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина M лежит на высоте AO первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит через центр грани ABC и середину ребра BD. Найдите отношение длин рёбер тетраэдров.
Решение
Пусть K – центр грани ABC тетраэдра ABCD, E и F – середины его рёбер BC и BD соответственно, прямая OE и прямая MK, содержащаяся в грани MNP тетраэдра MNPQ, пересекаются в некоторой точке L. Тогда плоскости MNP и BCD пересекаются по прямой FL, причём на этой прямой лежит ребро тетраэдра MNPQ. Заметим, что отношение рёбер правильных тетраэдров равно отношению их высот. Пусть высота AO = 1, а высота MO = k. Тогда, если ребро тетраэдра ABCD равно a, поэтому
Ребро b тетраэдра MNPQ равно ka. Через вершину A проведём прямую, параллельную OL. Пусть эта прямая пересекается с прямой LM в точке T. Обозначим LE = x. Из подобия треугольников AKT и EKL следует, что AT = AK/KE·LE = 2LE = 2x, а из подобия треугольников AMT и OML – Отсюда
Значит,
По теореме косинусов FL2 = OF² + OL² – 2OF·OL cos 120° =
Пусть OH – высота треугольника FOL. Одна из сторон основания правильного тетраэдра MNPQ лежит на прямой FL, поэтому
Выражая площадь треугольника FOL двумя способами, получим, что
OF·OL sin 120° = FL·OH, 19k² – 8k – 2 = 0, откуда k =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 9028 |
