Задача 111404

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Продолжения высот треугольника ABC делят описанную около треугольника ABC окружность на дуги, длины которых относятся как p:q:r . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Пусть α , β и γ углы при вершинах соответственно A , B и C остроугольного треугольника ABC (рис.1), A1 , B1 и C1 – точки пересечения продолжений высот треугольника ABC , проведённых из вершин A , B и C соответственно, причём B1AC1: A1BC1: A1CB1 = p:q:r . тогда

B1A1C1 = B1AC1 = · = .
С другой стороны,
B1A1C1 = B1A1A + C1A1A = B1BA + C1CA = (-α)+ (-α) = π-2α.
Из уравнения =π-2α находим, что α = · . Аналогично, β = · и γ = · . Пусть теперь в треугольнике ABC угол BAC – тупой (рис.2). Тогда
B1A1C1 = B1A1A + C1A1A = B1BA + C1CA = (α - )+ (α - ) = 2α - π.
Из уравнения =2α-π находим, что α = (1+) . По свойству вписанного четырёхугольника
A1B1C1 = π - A1CC1 = π -.
С другой стороны,
A1B1C1= π - A1CC1 = A1CB+ C1CB = A1AB+ C1CB = (-β) + (-β) = π - 2β.
Из уравнения π - =π - 2β находим, что β = · . Аналогично, γ = · .

Ответ

· , · , · , если треугольник ABC – остроугольный; · , · , (1+ ) , если треугольник ABC – тупоугольный, причём угол BAC – тупой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4530