Задача 111419

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Призма (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На боковых рёбрах AA1 , BB1 и CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 расположены соответственно точки M , N и P так, что AM:AA1= B1N:BB1=C1P:CC1=3:4 . На отрезках CM и A1N расположены соответственно точки E и F так, что EF || B1P . Найдите отношение EF:B1P .

Решение

Заметим, что можно провести не более одной прямой, параллельной прямой B1P и пересекающей скрещивающиеся прямые CM и A1N . Действительно, если отличные от точек E и F точки E1 и F1 , лежащие на прямых соответственно CM и A1N , таковы, что E1F1 || B1P , то прямые EF и E1F1 параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости. Тогда и прямые CM и A1N лежат в этой же плоскости, что невозможно, т.к. они скрещивающиеся. Пусть E и F – точки на отрезках соответственно CM и A1N , причём EF || B1P . Пусть плоскость, проходящая через параллельные прямые EF и B1P , пересекает прямую AA1 в точке K . Обозначим A1K=x , AA1=t . Треугольник KME подобен треугольнику PCE , треугольник A1KF – треугольнику NB1F , а треугольник EKF – треугольнику PKB1 , поэтому

= = = , = = = , = ,
или = , откуда находим, что x=t . Следовательно,
= = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9006