Задача 111426

Тема:    [ Площадь сферы и ее частей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Две сферы с центрами O1 и O2 пересечены плоскостью P , перпендикулярной отрезку O1O2 и проходящей через его середину. Плоскость P делит площадь поверхности первой сферы в отношении m:1 , а площадь поверхности второй сферы в отношении n:1 ( m>1 , n>1 ). Найдите отношение радиусов этих сфер.

Решение

Пусть R1 и R2 – радиусы сфер с центрами O1 и O2 соответственно, M – середина отрезка O1O2 , A и B – точки пересечения первой и второй сфер с отрезком O1O2 . Обозначим AM=h1 , BM=h2 . Применяя формулу площади поверхности сферического сегмента, получим, что

= , = ,
откуда
h1=, h2=.
Так как O1M = O1A-AM = R1-h1 и O2M = O2B-BM = R2-h2 , а M – середина O1O2 , то R1-h1=R2-h2 , или h1-h2=R1-R2 . Подставив в это равенство найденные ранее выражения для h1 и h2 , получим, что
-=R1-R2.
Разделив обе части этого равенства на R1 и обозначив = t , получим уравнение
- = 1-t,
из которого находим, что = t = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9013