Задача 111429

Темы:    [ Конус ] [ Прямая призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник с катетами AB=8 и BC=6 . Гипотенуза AC является диаметром основания конуса, вершина которого расположена на ребре A1B1 . Боковая поверхность конуса пересекает ребро AB в точке M так, что AM=5 . Найдите объём конуса.

Решение

Пусть O середина AC (центр основания конуса), S – вершина конуса, SK – образующая конуса, проходящая через точку M . Опустим перпендикуляр ON из точки O на ребро AB . Плоскости граней ABC и AA1B1B перпендикулярны, т.к. призма – прямая. Поэтому прямая ON перпендикулярна плоскости AA1B1B . Тогда отрезок NS – ортогональная проекция высоты OS конуса на плоскость AA1B1B . В то же время, точка N – проекция центра основания конуса на плоскость, проходящую через образующие SA и SK , поэтому N лежит на биссектрисе SE равнобедренного треугольника ASK . Отрезок ON – средняя диния прямоугольного треугольника ABC , поэтому ON = BC = 3 , а т.к. N – середина AB , то

MN = BN-BM=AB- MB = 4-(8-5) = 1.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ASK , расположенный в плоскости AA1B1B . Его медиана SE пересекается с отрезком AM в точке N и при этом AN=4 и MN=1 . Через точку E проведём прямую, параллельную AM . Пусть эта прямая пересекается с SK в точке F . Тогда EF – средняя линия треугольника AMK , поэтому EF = AM= . Из подобия треугольников SNM и SEF находим, что
= = = .
Следовательно, = . Положим SN = 2t , NE=3t . Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE . Его высота ON , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу SE на отрезки SN = 2t и NE=3t , поэтому SN· NE = ON2 , или 6t2=9 , откуда находим, что t2= . Тогда
SO2 = SN· SE = 2t(2t+3t)=10t2 = 10t2= 10· = 15.
Пусть V – объём конуса. тогда
V=π OA2· SO = π · 25· = 25π .

Ответ

25π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9016