Задача 111430

Темы:    [ Конус ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со стороной 1,5, боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1,75. Точки S , B и D лежат на боковой поверхности конуса с вершиной в точке A , а точка C – в плоскости основания этого конуса. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение

Пусть лучи AB , AD и AS пересекают окружность основания конуса в точках B1 , D1 и S1 соответственно. Тогда отрезки AB1 , AD1 и AS1 – образующие конуса. Плоскость основания конуса пересекается с плоскостью ABCD по прямой B1D1 , а т.к. точка C , лежащая в плоскости ABCD , лежит также в плоскости основания конуса, то эта точка лежит на отрезке B1D1 . Кроме того, поскольку AB1=AD1 и AB= AD , прямая B1D1 параллельна диагонали BD квадрата ABCD . Противоположные стороны четырёхугольника BDCB1 попарно параллельны, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм, поэтому BB1=CD=AB= и AB1=3 . Аналогично, AD1=3 . Тогда B1D1 = 3 . Из прямоугольного треугольника BCS находим, что

BS = = = .
Обозначим SAB = α , S1B1D1 = S1D1B1 = β . Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что треугольник ABS – прямоугольный, ABS = 90^o . Тогда
tg α = = = , cos α = = = .
По теореме косинусов
B1S1 = = = 3.
Из прямоугольного треугольника B1CS1 находим, что
cos β = = = ,
тогда
sin β = = = .
Найдём радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника B1S1D1 . Точки B1 , S1 и D1 лежат на окружности основания конуса, поэтому R – радиус основания конуса. По теореме синусов
R = = = .
Пусть S_бок. – площадь боковой поверхности конуса. Тогда
S_бок. = π R· AB1 = π · · 3 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9017