Задача 111435

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса R проходит через вершину A равнобедренного треугольника ABC , касается основания BC в точке B и пересекает боковую сторону AC в точке D . Найдите боковую сторону AB , если = k .

Решение

Пусть BAC = 2α , DC=x , AD=kx . По теореме об угле между касательной и хордой DBC = BAC = 2α . Тогда

ABD = ABC - DBC = (90^o-α) - 2α= 90^o-3α,

ADB = DBC + ACB = 2α + (90^o-α)= 90^o+α.
По теореме синусов
= , = , = ,

= , = k+1,
откуда находим, что cos α = . Тогда по теореме синусов
AB = 2R sin ADB = 2R sin (90^o+α) = 2R cos α = R.

Ответ

R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4541