Задача 111441

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В правильном треугольнике ABC со стороной a проведена средняя линия MN параллельно AC . Через точку A и середину MN проведена прямая до пересечения с BC в точке D . Найдите AD .

Решение

Пусть M и N – середины сторон AB и BC соответственно, K – середина MN . Через точку B проведём прямую, параллельную стороне AC , и продолжим отрезок AD до пересечения с этой прямой в точке E . Тогда MK – средняя линия треугольника ABE , поэтому

BE = 2MK = 2· = .
Из подобия треугольников BDE и NDK следует, что
= = = 2,
поэтому
BD = BN = · = .
По теореме косинусов
AD2 = AB2+BD2 - 2AB· BD cos 60^o = a2+ - = .
Следовательно, AD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4547