Задача 111442

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC параллельно основанию AC проведена средняя линия MN . Радиус окружности, описанной около трапеции ACMN , в раз больше радиуса окружности, описанной около треугольника ABC . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Обозначим AC = a , ABC = α , R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC . По теореме синусов

R = = .
Пусть H – проекция середины M боковой стороны BC на основание AC . Тогда
HC = (AC-MN) = (a-) = , AH = a- = a.
Из прямоугольных треугольников CHM и AHM находим, что
MH = CH tg ACB = · tg (-)= ctg α,

AM = = = .
Пусть R1 – радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции ACMN . По теореме синусов
R1 = = = ,
а т.к. R1 = R , то
= · ,
откуда находим, что sin2 = . Тогда
cos α = 1-2 sin2 = 1-2· = 0.
Следовательно,
ABC = α = , BAC = BCA = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4548