Задача 111445

Темы:    [ Площадь параллелограмма ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь параллелограмма, если его большая диагональ равна 5, а высоты равны 2 и 3.

Решение

Докажем сначала, что площадь параллелограмма можно вычислить по формуле S = , где h_a и h_b – высоты параллелограмма, опущенные на соседние стороны, равные a и b соответственно, а α – угол между этими сторонами. Пусть ABCD – параллелограмм, BC=a , AB = b , ABC = α , AP=h_a и AQ=h_b – высоты, опущенные на стороны BC и CD соответственно. Тогда

S_ABCD = AB· BC sin α = · · sin α = = = ,
что и требовалось доказать. Пусть угол при вершине A параллелограмма ABCD – тупой. Тогда BD – наибольшая диагональ параллелограмма, BD=5 . Опустим перпендикуляры DH и DM из вершины D на прямые AB и BC . Обозначим ABC = α , ABD= β , CBD = γ . Из прямоугольных треугольников BDH и BDM находим, что
sin β = = , sin γ = = .
Тогда
cos β = , cos γ = ,

sin α = sin (β + γ) = sin β cos γ + sin γ cos β = · + · = .
Следовательно,
S_ABCD = = = (3-8).

Ответ

(3-8) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4551