Задача 111447

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Около окружности описана равнобочная трапеция. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания составляет площади трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.

Решение

Пусть вписанная окружность касается оснований AD=a и BC=b ( a>b ) трапеции ABCD в точках N и L соответственно, а боковых сторон AB и CD – соответственно в точках K и M . Тогда

BK = BL=LC = CM, AK = AN=ND=DM,
поэтому
= = =, = = =,
значит, KM || AD . Если O – точка пересечения AC и KM , то из подобия треугольников AKO и ABC находим, что
KO = BC· = b· = .
Аналогично, MO = b· . Поэтому KM= KO+OM = . Пусть высота трапеции равна h . Тогда
S_ABCD = (AD+BC)h = (a+b)h,
а т.к. NL KM , то
S_KLMN = KM· LN = · · h = .
По условию задачи S_KLMN=S_ABCD , или
= · (a+b)h, = · (a+b), 3a2-10ab+3b2 = 0, 3()2 -10· + 3=0,
откуда находим, что =3 или = , а т.к. a>b , то =3 .

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4553