Задача 111454

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC угол при основании AC равен α . Окружность, вписанная в этот треугольник, касается сторон треугольника в точках A1 , B1 , C1 . Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC .

Решение

Пусть вписанная окружность касается основания AC равнобедренного треугольника ABC в точке B1 . Тогда B1 – середина AC . Обозначим AB1=CB1=a . Из прямоугольного треугольника ABB1 находим, что

AB = = .
Тогда
S_{Δ СA}1B1 = S_{Δ AB}1C1 · · S_{Δ ABC} = · · S_{Δ ABC} = cos α S_{Δ ABC}.
Треугольник BC1A1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом
k = = = = 1- cos α,
поэтому
S_{Δ BA}1C1 = k2S_{Δ ABC} = (1- cos α)2S_{Δ ABC}.
Следовательно,
S_{Δ A}1B1C1 = S_{Δ ABC}-S_{Δ BA}1C1-2S_{Δ AB}1C1= (1-(1- cos α)2- cos α)S_{Δ ABC} =

= cos α(1- cos α)S_{Δ ABC}, = cos α(1- cos α).

Ответ

cos α(1- cos α) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4560