Задача 111462

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC высота BD , опущенная на основание равна h , радиус вписанной окружности равен r . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ

. Обозначим через α угол при основании равнобедренного треугольника ABC . Высота равнобедренного треугольника является его медианой и биссектрисой, поэтому D – середина основания AD , а центр O вписанной окружности лежит на отрезке BD . Из прямоугольных треугольников AOD и ABD находим, что

AD = =, AD = =,
поэтому = , а т.к. tg α = , то из полученного равенства находим, что tg2 = . Тогда
sin α = = .
Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC . По теореме синусов
R = = = = = = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4568