Задача 111477

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в любом остроугольном треугольнике k_a+k_b+k_c = R+r , где k_a , k_b , k_c – перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение

Пусть a , b , c – стороны треугольника ABC , BAC=α , ABC = β , ACB = γ – противолежащие им углы, O – центр описанной окружности, M – середина стороны BC . Поскольку угол BAC – вписанный, а угол BOC – соответствующий ему центральный,

BOC = 2 BAC = 2α, BOM = BOC = α.
Из прямоугольного треугольника BOM находим, что
k_a = OM = BO cos BOM = R cos α.
Аналогично,
k_b = R cos β, k_c = R cos γ = R cos (π - α - β)= -R cos (α + β).
Тогда
k_a+k_b+k_c =R( cos α + cos β- cos (α+β)).
По теореме синусов
a=2R sin α, b=2R sin β, c=2R sin γ =2R sin (π - α - β)= 2R sin (α+β).
Пусть S – площадь треугольника ABC , p – полупериметр. Тогда
S=AB· AC sin α = · 2R sin β· 2R sin γ · sin α =2R2 sin α sin β sin γ = 2R2 sin α sin β sin (α+β).
С другой стороны,
S = pr = (a+b+c)r = (2R sin α+2R sin β+2R sin γ)r=

=Rr( sin α+ sin β+ sin γ) = Rr( sin α+ sin β+ sin (α+β)).
Из равенства
2R2 sin α sin β sin (α+β)=Rr( sin α+ sin β+ sin (α+β))
находим, что
r=.
Таким образом осталось доказать, что
R( cos α + cos β- cos (α+β))= R+.
Далее имеем:
R( cos α + cos β- cos (α+β))= R+

cos α + cos β- cos (α+β)= 1+

cos α + cos β- cos (α+β)-1=

2 cos cos -2 cos2 =

2( cos2 - cos2 )= 2 sin α sin β

1+ cos (α-β)-1- cos (α+β)= 2 sin α sin β

cos (α-β)- cos (α+β)= 2 sin α sin β

cos (α-β)- cos (α+β)= cos (α-β)- cos (α+β).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4623