Задача 111478

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D и стороны BC в точке E . Найдите углы треугольника, если = и = .

Решение

Пусть F – точка касания окружности со стороной AC . Обозначим BD=x , тогда AD=2x , а т.к. отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, то BE=BD=x и AF=AD = 2x . Кроме того, по условию задачи EC = 3BE = 3x , поэтому

AB=AD+DB = 2x+x=3x, BC=BE+EC = x+3x=4x, AC=AF+FC=2x+3x=5x.
Тогда
AC2 = 25x2 = 9x2+16x2 = AB2+BC2,
значит, треугольник ABC – прямоугольный,
ABC = 90^o, cos ACB = = =, sin BAC = cos ACB =.

Ответ

90^o , arccos , arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4624