Задача 111480

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC расположены точки соответственно M и N так, что = m , = n . Прямая MN пересекает высоту BD треугольника в точке O . Найдите отношение .

Решение

Пусть площадь треугольника ABC равна S . Тогда площади треугольников ABD и CBD равны по S . Обозначим = x . Тогда

S_{Δ BMN} = · S = · · S.
С другой стороны
S_{Δ BMN}=S_{Δ BMO}+S_{Δ BNO} = · x· S+ · x· S.
Из уравнения
· S=· x· S+ · x· S.
находим, что x= . Следовательно,
= = - 1 = -1 =-1= (m+n).

Ответ

(m+n) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4626