Задача 111497

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21.

Решение

Пусть площадь треугольника ABC равна S . Докажем, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC , равна S . Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC, B1 – середина стороны AC . Отложим на продолжении медианы BB1 за точку B1 отрезок B1K , равный B1M . Поскольку AMCK – параллелограмм, то KC = AM . Поэтому стороны треугольника MCK равны сторон треугольника, составленного из медиан треугольника ABC . Следовательно, искомый треугольник подобен треугольнику MCK с коэффициентом , а его площадь равна площади треугольника MCK , т. е.

S1 = · 2· S = S.
Площадь S1 треугольника со сторонами 12, 15 и 21 найдём по формуле Герона:
S1 = = 36.
Следовательно,
S_{Δ ABC} = S= S1 = · 36=48.

Ответ

48 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4582