Задача 111501

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h , а проекция одного из катетов на гипотенузу равна l . Найдите радиус окружности, касающейся катетов, если центр окружности лежит на гипотенузе.

Решение

Пусть CD=h – высота прямоугольного треугольника ABC , опущенная из вершины прямого угла C , BD=l – проекция катета BC на гипотенузу AB , O – центр окружности, M и N – точки касания окружности с катетами AC и BC соответственно. Тогда

CD2 = BD· AD, AD = = , BC = = ,

AC = = = .
Пусть r – радиус окружности. Тогда
S_{Δ ABC} = S_{Δ AOC}+S_{Δ BOC} = AC· r+ BC· r = r(AC+BC) =

=r(+)= r(+1)= .
С другой стороны,
S_{Δ ABC} = AC· BC = · · = .
Из уравнения
=
находим, что
r = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4586