Задача 111505

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть S – площадь прямоугольного треугольника с катетами x и y , r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр. Тогда p=a+b+r . Поэтому

2S = xy = (a + r)(b + r) = ab + (a + b + r)r = ab + pr = ab + S.
Отсюда находим, что S=ab .

Ответ

ab .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4590