Задача 111507

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Длина внешней касательной окружностей радиусов r и R в два раза больше длины внутренней касательной. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Решение

Пусть O1 и O2 – центра окружностей радиусов r и R соответственно, AB – общая внешняя касательная этих окружностей, CD – общая внутренняя касательная (точки A и C лежат на первой окружности, B и D – на второй), AB = 2CD . Опустим перпендикуляры O1F и O2P из центров O1 и O2 окружностей на прямые O2B и O1C соответственно. Тогда

AB=O1F, CD=O2P, O2F=R-r, O1P = R+r.
Из прямоугольных треугольников O1FO2 и O1PO2 находим, что
AB2 = O1F2 = O1O22 - O2F2 = O1O22-(R-r)2,

CD2 = O2P2 = O1O22 - O1P2 = O1O22-(R+r)2,
а т.к. AB2 = 4CD2 , получим уравнение
O1O22-(R-r)2 = 4O1O22-4(R+r)2,
из которого находим, что
O1O22=(4(R+r)2-(R-r)2) = R2+rR+r2.
Следовательно,
O1O2=.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4592