Задача 111510

Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На высоте правильного треугольника, сторона которого равна b , как на диаметре построена окружность. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит внутри окружности.

Решение

Пусть окружность с центром O радиуса R , построенная на высоте AM равностороннего треугольника ABC , пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Тогда

R = AM = , OE = OM =OD= R, EOD = 2 DAE = 120^o.
Пусть S1 – площадь сектора DOE , S2 – площадь круга радиуса R , S – искомая площадь части треугольника, заключённой внутри окружности. Тогда
S2 = π R2, S1 = S2 = π R2.
Следовательно,
S=S1+2S_{Δ AOD} = π R2+2· R2 sin AOD=

=π R2+R2 sin 60^o=π R2+= R2(2π+3) =

= · ()2· (2π+3)= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4595