ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111532
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Около окружности описана трапеция с боковыми сторонами a и b . Найдите сумму квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции.

Решение

Пусть боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны a и b соответственно, O – центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому

BAO + ABO = BAD+ ABC = ( BAD+ ABC)= · 180o = 90o,

значит, AOB = 90o . Из прямоугольного треугольника AOB находим, что
OA2+OB2= AB2 = a2.

Аналогично, OC2+OD2 = b2 . Следовательно,
OA2+OB2+OC2+OD2= a2+b2.


Ответ

a2+b2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4617

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .