Задача 111560

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса 3 вписана в прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно 4. Найдите большее основание трапеции.

Решение

Пусть O – центр окружности радиуса 3, вписанной в трапецию ABCD с основаниями AD и BC=4 , C= D=90^o , а окружность касается сторон CD , BC , AB и AD в точках K , L , M и N соответственно. Четырёхугольники ONDK и OKCL – квадраты, поэтому

DN=OK = 3, CL = OK = 3, BM=BL = BC-CL = 4-3=1.
Лучи AO и BO – биссектрисы углов при боковой стороне трапеции. Сумма этих углов равна 180^o , сумма их половин равна 90^o . Следовательно, AOB = 90^o , значит, OM=3 – высота прямоугольного треугольника AOB , проведённая из вершины прямого угла, поэтому OM2=BM· AM , откуда находим, что
AM= = = 9.
Тогда
AN=AM = 9, AD=AN+DN = 9+3 = 12.

Ответ

12.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4665