ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111560
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Площадь трапеции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 3 вписана в прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно 4. Найдите большее основание трапеции.

Решение

Пусть O – центр окружности радиуса 3, вписанной в трапецию ABCD с основаниями AD и BC=4 , C= D=90o , а окружность касается сторон CD , BC , AB и AD в точках K , L , M и N соответственно. Четырёхугольники ONDK и OKCL – квадраты, поэтому

DN=OK = 3, CL = OK = 3, BM=BL = BC-CL = 4-3=1.

Лучи AO и BO – биссектрисы углов при боковой стороне трапеции. Сумма этих углов равна 180o , сумма их половин равна 90o . Следовательно, AOB = 90o , значит, OM=3 – высота прямоугольного треугольника AOB , проведённая из вершины прямого угла, поэтому OM2=BM· AM , откуда находим, что
AM= = = 9.

Тогда
AN=AM = 9, AD=AN+DN = 9+3 = 12.


Ответ

12.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4665

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .