ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111568
УсловиеВысоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H . Точка B0 – середина стороны AC . Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов ABC и AHC соответственно, лежит на прямой A1C1 .РешениеИз точек A1 и C1 отрезок AC виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC , поэтомуАналогично, BC1A1 = ACB . При симметрии относительно биссектрисы угла ABC точка A1 перейдёт в некоторую точку A2 , лежащую на прямой AB , а точка C1 – в точку C2 , лежащую на прямой BC , при этом Следовательно, A2C2 || AC , поэтому треугольник BA2C2 гомотетичен треугольнику BAC , значит, медиана BB0 треугольника ABC проходит через середину отрезка A2C2 . Тогда прямая, симметричная BB0 относительно биссектрисы угла ABC , проходит через середину отрезка A1C1 . Заметим, что B – точка пересечения высот тупоугольного треугольника AHC , а HB0 – медиана этого треугольника. Аналогично предыдущему доказывается, что прямая, симметричная HB0 относительно биссектрисы угла AHC , также проходит через середину отрезка A1C1 . Следовательно, прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются на прямой A1C1 . Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|