Задача 111570

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC выбраны точки P и R соответственно так, что  AP = CR.  Точка M – середина отрезка PR.
Докажите, что  BR = 2AM .

Решение

Через точку R проведём прямую, параллельную AB до пересечения со стороной BC в точке K. Тогда  ∠CRK = ∠A = 60°,  поэтому треугольник CRK – равносторонний, значит,  KR = CR = AP.  Противоположные стороны AP и KR четырёхугольника APKR равны и параллельны, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм, а так как точка M – середина его диагонали PR, то его вторая диагональ AK проходит через точку M и делится ею пополам, поэтому  AK = 2AM .  (ARKB – равнобедренная трапеция, следовательно,  BR = AK = 2AM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4675