Задача 111573

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Прямоугольный лист бумаги ABCD согнули так, как показано на рисунке. Найдите отношение  DK : AB,  если C₁ – середина AD.

Решение

  AC₁ = DC₁ = ½ AD.  Треугольники BC₁K и BCK равны, значит,  BC₁ = BC.  В прямоугольном треугольнике ABC₁ катет AC₁ равен половине гипотенузы BC₁, значит,  ∠ABC₁ = 30°.  Поэтому  ∠AC₁B = 60°,  ∠DC₁K = 180° – 60° – 90° = 30°.
  В прямоугольном треугольнике KDC₁ катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, то есть  DK = ½ C₁K = ½ CK,  а так как
DK + CK = CD,  то  DK = ⅓ CD.

Ответ

1 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2008
класс
Класс	8
задача
Номер	4
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4678