ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111580
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE извествно, что A = B = D= 90o . Найдите угол ADB , если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть O – центр окружности, вписанной в данный пятиугольник, K , L , M , N и T – точки касания окружности со сторонами AB , BC , CD , DE и AE соответственно. Тогда отрезки OK , OL , OM , ON и OT перпендикулярны соответствующим сторонами пятиугольника. Поскольку углы KBL , KAT и MDN – прямые, четырёхугольники BLOK , AKOT и DMON – равные квадраты, а отрезки OB , OA и OD равны как диагонали этих квадратов, поэтому точка O равноудалена от вершин треугольника ADB , т.е. является центром его описанной окружности. Угол ADB вписан в эту окружность, поэтому он равен половине соответствующего ему центрального угла AOB , а т.к.

AOB = AOK+ BOK = 45o+45o = 90o,

то
ADB = AOB = · 90o=45o.


Ответ

45o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4685

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .