Задача 111582

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника ABC ?

Решение

Пусть S – площадь треугольника ABC , r – радиус окружности, вписанной в треугольник AMC . Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник ABM равен 2r . Допустим, что AM – медиана треугольника ABC . Тогда площади треугольников ABM и ACM равны . Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому

2r= = , r= = ,
поэтому
=, =,
откуда находим, что
AC=2AB+AM+2BM-CM = 2AB + AM + CM > AM+CM,
что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, AM не может быть медианой треугольника ABC .

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4687