Задача 111583

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся сторон AC , BC и AB в точках M , K и N соответственно. Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN . Она пересекла катет AC в точке X . Докажите, что CK=AX .

Ответ

Центр O окружности, вписанной в треугольник ABC , лежит на биссектрисе угла MAN , а т.к. биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой, то AO MN , значит, AO || XK . Радиус OK , проведённый в точку касания окружности с катетом BC , перпендикулярен BC , поэтому OK || AX . Противоположные стороны четырёхугольника AXKO попарно параллельны, значит, AXKO – параллелограмм. Следовательно, AX=OK , а т.к. OKCM – квадрат, то CK= OK = OX .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4688