Задача 111587

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания MNP правильной пирамиды MNPQ равна 5. Основанием правильной пирамиды SABCD является квадрат ABCD . Все вершины пирамиды SABCD расположены на рёбрах пирамиды MNPQ , причём вершина S лежит на ребре QM и MS=MQ . Найдите объём пирамиды SABCD .

Решение

Вершина S правильной пирамиды SABCD лежит на ребре QM , поэтому вершины основания ABCD лежат на рёбрах MN , QN , QP и MP . Пусть точки A , B , C и D принадлежат соответственно этим рёбрам (рис.1). Плоскости MNP и QNP проходят через параллельные прямые AD и BC соответственно и пересекаются по прямой NP , значит, AD || NP и BC || NP . Аналогично, AB || QM и CD || QM . Пирамида SABCD – правильная, поэтому ABCD – квадрат. Положим MQ = 4x , MS=3x , =k . Тогда

SQ=x, AB=BC=kNP = 5k, AB = (1-k)MQ = 4(1-k)x, AM = kMN=5k.
Из равенства 4(1-k)x=5k находим, что x= Обозначим QMN = QNM = α . Тогда MQN = 180^o - 2α . Из равнобедренного треугольника MQN находим, что
cos α = = = .
Тогда
cos MQN = cos(180^o-2α)= - cos 2α= 1-2 cos2 α = 1-2()2 = 1-.
По теореме косинусов
AS2 = MS2+AM2-2MS· AM cos α = 9x2+25k2 - 2· 3x· 5k· = 9x2+25k2-k,

BS2 = QS2+QB2-2QS· QB cos (180^o-2α) = x2+16k2x2 - 2x· 4kx· (1-)=

=x2+165k2x2-8kx2+k,
а т.к. AS=BS , то
9x2+25k2-k=x2+165k2x2-8kx2+k

8x2+ 25k2-16k2x2 + 8kx2 - 25k=0.
Подставив x= в последнее уравнения, после очевидных преобразований получим уравнение (5k-2)(1-k)=0 , а т.к. k<1 , то k= . Тогда
x==, SB=SC=SD = SA = =

== = ,

AB=BC=CD=AD = 5k = 2.
Пусть SO – высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD . Из прямоугольного треугольника AOS находим что
SO = = = .
Следовательно,
V_SABCD = AB2· SO = · 4· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9033